Estudio de pregrado UdeC avanza en aplicación de novedosos métodos de optimización

An Unfitted Hybridizable Discontinuous Galerkin Method in Shape Optimization es el nombre de la memoria de título que hace algunos días defendió exitosamente Esteban Henríquez Novoa, flamante Ingeniero Civil Matemático de la Universidad de Concepción, UdeC.

En cuanto a los principales alcances de su trabajo de investigación, el profesional afirma que “principalmente son dos: el primero, y más notorio, es que éste es uno de los primeros trabajos que utiliza métodos de Galerkin discontinuo hibridizable (HDG en inglés) en el contexto de optimización de forma, más aún, agregando la dificultad de utilizar dominios no necesariamente poligonales. Por otra parte, se realizó el análisis del método HDG en dominios no poligonales para el caso de condiciones de contorno de Dirichlet y Neumann. Para estas últimas, hasta entonces sólo existían trabajos reportando experimentos numéricos del método, pero no un análisis para las estimaciones del error”.

A partir de estos resultados, pueden abrirse nuevas líneas de investigación, ya que, explica Esteban, “como mi trabajo aborda un problema modelo para optimización de forma combinado con el método HDG para resolver las ecuaciones diferenciales, lo que viene ahora sería analizar problemas más complicados y con aplicaciones más concretas, tales como ecuaciones de elasticidad o Navier-Stokes por mencionar algunos”. En su investigación, el ahora ingeniero contó con la dirección del Dr. Manuel Solano Palma, académico del Departamento de Ingeniería Matemática de la UdeC e integrante del Centro de Investigación en Ingeniería Matemática, CI²MA, y la codirección del Dr. Tonatiuh Sánchez-Vizuet, profesor asistente del Departamento de Matemáticas del Instituto de Ciencias de The University of Arizona, Estados Unidos.

Al respecto, Esteban explica que “el año pasado ya estábamos trabajando en otro tema con el Profesor Solano y le pregunté si existía la oportunidad de realizar una estadía de investigación en el extranjero. Él me comentó sobre su colaborador, el profesor Tonatiuh Sánchez-Vizuet, y que podría trabajar con él en mi tema de memoria en la Universidad de Arizona. Faltaba elegir el tema antes de ir allá, por lo que me propuso trabajar en optimización de forma, ya que era un tema que a él le parecía interesante. Ninguno de los tres era experto en este tema, por lo cual parecía una buena idea incursionar en ello y aprenderlo en Arizona en conjunto con el Profesor Sánchez-Vizuet”.

En este mismo sentido, el académico de la universidad ubicada en Tucson explica que “el Profesor Manuel Solano y yo hemos colaborado ya por varios años en aplicaciones del método HDG y en el desarrollo de la teoría del método de transferencia de condiciones de frontera para dominios no poligonales. Hace alrededor de un año, Manuel me comentó que tenía un estudiante muy bien preparado y motivado para realizar una pasantía, así que decidimos un nuevo proyecto que le ayudaría a Esteban a aprender las bases del método de análisis y nos permitiría explorar una nueva área de aplicación. Esteban realizó una pasantía en Arizona entre enero y abril de 2022 y durante ese tiempo desarrolló las bases de su memoria”.

“Esteban es bastante independiente para trabajar y muy cumplidor. De hecho, desde el año pasado a la fecha ha estado trabajado en tres investigaciones diferentes. Los resultados de una de ellas fueron los que conformaron su memoria de pregrado. Otro de los trabajos, sobre HDG para problemas de control, lo comenzó a desarrollar cuando cursaba mi electivo sobre métodos de Galerkin discontinuo. Finalmente, un tercer trabajo sobre problemas acoplados y formulaciones en espacios de Banach fue desarrollado en conjunto con el profesor Gabriel Gatica, en colaboración con el recientemente graduado de Ingeniaría Civil Matemática Claudio Correa y el profesor Ricardo Ruiz-Baier”, detalla el Dr. Solano.

Por otra parte, el también investigador asociado del Centro de Modelamiento Matemático de la U. de Chile, menciona que “la estadía de Esteban en la U. de Arizona se gestionó gracias a varios factores. En primer lugar, el factor académico, ya que Esteban había estado trabajando conmigo cerca de 10 meses, logrando resultados positivos en su investigación. Esto dio pie para proponer al Dr. Sánchez-Vizuet un tema de colaboración en conjunto. El segundo factor es el financiamiento para llevar a cabo la estadía, que fue posible gracias a uno de mis proyectos de investigación Fondecyt 1200569”.

El profesor Solano agrega que los trabajos de investigación realizados por Esteban Henríquez fueeon financiado por fondos de apoyo a memoristas de pregrado de los proyectos Fondecyt 1200569 y Basal FB210005. 

En cuanto a los resultados obtenidos por Esteban, el Prof. Sánchez-Vizuet destaca que “el trabajo de Esteban nos permitió explorar un área de investigación que era nueva para nosotros y, además, nos permitió entender mejor y desarrollar nuevos argumentos en el método de transferencia. En particular, Esteban sentó las bases para el análisis de convergencia cuando el método es aplicado a un tipo de problemas que se conocen como ‘problemas con condiciones de Neumann’. Su memoria será la base para, al menos, un artículo de investigación y el punto de partida para otros proyectos en esta área”.

Entre los investigadores externos que participaron en la comisión evaluadora del examen de grado de Esteban, estuvo el Doctor en Ciencias Aplicadas con mención en Ingeniería Matemática de la UdeC, Paulo Zúñiga Oyarzo, quien está actualmente es investigador postdoctoral en la University of Waterloo en Ontario, Canadá.

“Mi participación en la comisión”, explica el Dr. Zúñiga, “se debe a la conexión que su memoria de título tiene con el proyecto de investigación que desarrollé en la UdeC, bajo la tutela de dos investigadores del CI²MA, Ricardo Oyarzúa y Manuel Solano. En ambos casos, las ecuaciones diferenciales estudiadas se basan en dominios no-poliédricos que aparecen en aplicaciones que provienen principalmente del área de la Ingeniería”.

“El tratamiento numérico de dominios suaves en problemas de optimización de forma requiere cierto cuidado”, destaca en torno a los resultados de Esteban y agrega que, “dado que encontrar una parametrización de la frontera del dominio es raramente posible, se suele recurrir a una geometría aproximada. Así, es inevitable obtener fuentes de error que afecten la calidad de la solución numérica”.

“Sin embargo”, afirma, “éste no es el caso del trabajo desarrollado por Esteban, puesto que él propone conectar la teoría de optimización de forma con un método HDG diseñado especialmente para lidiar con dominios suaves. En particular, los resultados teóricos aseguran que la calidad de la solución numérica provista por el método no se verá afectada por la geometría del dominio, siempre y cuando se cumplan un número de hipótesis que se pueden verificar en la práctica. Entiendo que es la primera vez que se combinan ambos enfoques y es por ello que el trabajo de Esteban es destacable”.

En cuanto a su futuro próximo, Esteban afirma que “estoy en proceso de postulación a programas de doctorado en dos universidades de Estados Unidos y otra de Canadá y, si todo resulta bien, debería seguir estudiando el próximo año en alguna de ellas”.

“Desde que entré a Ingeniería Civil Matemática, mi idea era seguir estudiando con el propósito de tener una carrera como investigador y, afortunadamente, llegué al lugar indicado para seguir ese camino, teniendo excelentes profesores, quienes me han inspirado y enseñado durante la carrera, por lo cual estaré eternamente agradecido”, finalizó.