Matemático UdeC aporta nuevo enfoque para metodología numérica con diversas aplicaciones en ingeniería

En la matemática aplicada, los bordes del conocimiento son dinámicos. Un ejemplo de ello son los resultados que permanentemente van generando los especialistas en Análisis Numérico de Ecuaciones Diferenciales Parciales(AN de EDPs), área en que la Universidad de Concepción, cuenta, junto a la U. del Bío-Bío y la U. Católica de la Santísima Concepción, con un grupo de investigadores de impacto y reconocimiento nacional e internacional.

Una muestra de este dinamismo es que un artículo de Gabriel Gatica, académico del Departamento de Ingeniería Matemática de la UdeC, desarrolla un nuevo enfoque teórico para una metodología reciente en AN de EDPs, conocida como Método de Elementos Virtuales (VEM), que surgió a través de un primer artículo publicado en 2013. “Ella apunta a resolver numéricamente EDPs utilizando descomposiciones poligonales o poliédricas relativamente arbitrarias del dominio, generalizando así el clásico método de elementos finitos, el cual funciona básicamente solo con triángulos, tetraedros, cuadrados e hipercubos”, explicó Gatica.

De este modo, detalló el también investigador del Centro de Investigación en Ingeniería Matemática(CI²MA) de la UdeC, “el VEM resultó muy recomendable para resolver modelos que ocurren en geometrías complicadas o con características muy específicas. Además. de esta ventaja geométrica, el VEM ha sido muy útil también para manejar algunas propiedades especiales de la solución, tales como incompresibilidad de un fluido, simetría de un tensor de esfuerzos, regularidad y otras, las cuales son muy difíciles de implementar con aproximaciones puramente polinomiales, pero mucho más fáciles de obtener a través de las funciones base que el VEM define en cada uno de los elementos virtuales”.

“En estos poco más de 8 años, el VEM se ha extendido profusamente entre la comunidad de analistas numéricos e EDPs del mundo, a tal punto de marcar presencia hoy en día en prácticamente todas las áreas de ciencias de la ingeniería a través de las distintas problemáticas que surgen de ellas”, afirmó.

Trabajo reciente

El más reciente manuscrito de Gatica sobre esto, fue publicado por estos días junto a apenas otros seis documentos en la prestigiosa revista Mathematical Models and Methods in Applied Sciences [1] (vol. 31, no. 14), cuyo factor de impacto es 3.817. “Mayor que 1 ya es muy bueno en Matemática”, explicó Gatica.

El número titulado Special Issue on ‘Recent Results and Perspectives for Virtual Element Methods’ fue editado por los creadores del VEM y presenta sus principales perspectivas, resultados y aplicaciones recientes. “De los siete trabajos incluidos en este número, cuatro son de autores italianos pertenecientes o vinculados a los grupos de investigación liderados por dichos creadores, dos a autores principales pertenecientes a universidades de Estados Unidos, y el mío”, detalló el también investigador asociado al Centro de Modelamiento Matemático de la U. de Chile.

“Haber sido invitado hace poco más de un año a contribuir un trabajo en este número especial ya era, además por cierto de un gran desafío, un honor. El trabajo mismo lo hice en conjunto con mi ex-tesista doctoral de la UdeC, Filander Sequeira, quien, luego de graduarse en diciembre de 2015, volvió a desempeñarse como académico en la Universidad Nacional de Costa Rica, y con quien hemos seguido trabajando desde entonces”, enfatizó Gatica.

El científico profundizó también en el aporte del manuscrito desarrollado junto a Sequeira.

“En prácticamente todas las contribuciones conocidas a la fecha sobre VEM, la formulación matemática respectiva se hace utilizando los llamados ‘espacios de Hilbert’, entendidos como ‘lugares donde viven’ las incógnitas del problema. El aporte principal de mi artículo con Filander es que, por primera vez, consideramos un marco más general dado por lo que se conoce como ‘espacios de Banach’, lo cual nos permite, entre otras ventajas, abordar problemas de mayor complejidad como los modelos no lineales. Precisamente, en nuestro artículo proponemos un nuevo métodobasado en estos espacios para resolver numéricamente un problema de mecánica de fluidos conocido como las ecuaciones de Navier-Stokes”, contó.

Historia local del VEM

La primera aproximación a los métodos virtuales de Gatica, “fue gracias a un estudiante de uno de mis cursos del doctorado, Gonzalo Rivera, actualmente académico de la Universidad de Los Lagos, quien realizo una exposición sobre ello durante el semestre en que le hice clases”.

“Posteriormente me puse a trabajar sobre el tema con Ernesto Cáceres, alumno tesista de Ingeniería Civil Matemática, actualmente doctorándose en Brown University, EE. UU., y luego, en conjunto con Ernesto, Filander y otro tesista doctoral, Mauricio Munar, desarrollamos varios métodos de elementos virtuales para diversos problemas lineales y no-lineales en mecánica de medios continuos. Paralelamente, un colega de la UdeC, Rodolfo Rodríguez, y un académico de la UBB, David Mora, en conjunto con estudiantes tesistas de postgrado de ambas universidades, el primero de ellos justamente Gonzalo, han desarrollado, a su vez, su propia línea de investigación sobre VEM, destacándose en particular sus diversas contribuciones a la resolución de problemas espectrales”, detalló el matemático acerca de las diversas potencialidades que pueden desarrollarse a partir de esta metodología.